3 Souřadnicový systém

Co se naučíte

V této kapitole se naučíte:

Co je kartézská soustava souřadnic
Jak zapisovat a zobrazovat body v rovině
Jak vypočítat vzdálenost mezi dvěma body
Jak pracovat se souřadnicemi v Pythonu

3.1 Proč potřebujeme souřadnice?

Představte si, že hrajete hru, kde ovládáte postavu na obrazovce. Jak počítač ví, kde postava je? Používá souřadnice – dvojici čísel, která přesně určuje pozici.

Souřadnice používáme všude:

GPS navigace – určuje pozici jako zeměpisnou šířku a délku
Počítačová grafika – každý pixel má své souřadnice
Mapy v hrách – pozice postav, nepřátel, pokladů
Strojové učení – data jsou body v prostoru souřadnic

Historická poznámka

Souřadnicový systém vynalezl francouzský filosof a matematik René Descartes (1596-1650). Proto se mu říká kartézská soustava souřadnic (z latinské podoby jeho jména: Cartesius).

3.2 Kartézská soustava souřadnic

Kartézská soustava souřadnic se skládá ze dvou os:

Osa x (vodorovná) – běží zleva doprava
Osa y (svislá) – běží zdola nahoru

Osy se protínají v počátku (anglicky origin), který má souřadnice [0, 0].

Kód

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))

# Osy
ax.axhline(y=0, color='k', linewidth=1.5)
ax.axvline(x=0, color='k', linewidth=1.5)

# Mřížka
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.set_xlim(-5, 5)
ax.set_ylim(-5, 5)

# Popisky os
ax.set_xlabel('osa x', fontsize=12)
ax.set_ylabel('osa y', fontsize=12)

# Šipky na koncích os
ax.annotate('', xy=(5, 0), xytext=(4.5, 0),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='black', lw=1.5))
ax.annotate('', xy=(0, 5), xytext=(0, 4.5),
            arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='black', lw=1.5))

# Počátek
ax.plot(0, 0, 'ko', markersize=8)
ax.annotate('počátek\n[0, 0]', xy=(0, 0), xytext=(0.5, -1),
            fontsize=10, ha='left')

# Ukázkové body
body = [(3, 2), (-2, 3), (-3, -2), (2, -3)]
barvy = ['red', 'blue', 'green', 'orange']
nazvy = ['A[3, 2]', 'B[-2, 3]', 'C[-3, -2]', 'D[2, -3]']

for (x, y), barva, nazev in zip(body, barvy, nazvy):
    ax.plot(x, y, 'o', color=barva, markersize=10)
    ax.annotate(nazev, xy=(x, y), xytext=(x+0.3, y+0.3),
                fontsize=10, color=barva)

ax.set_aspect('equal')
ax.set_title('Kartézská soustava souřadnic', fontsize=14)
plt.tight_layout()
plt.show()

3.3 Body v rovině

Každý bod v rovině má dvě souřadnice:

x-ová souřadnice – říká, jak daleko je bod od osy y (vpravo = kladné, vlevo = záporné)
y-ová souřadnice – říká, jak daleko je bod od osy x (nahoru = kladné, dolů = záporné)

Bod zapisujeme jako [x, y] nebo (x, y).

Příklad

Bod A[3, 2] znamená:

Jdi 3 jednotky doprava (x = 3)
Jdi 2 jednotky nahoru (y = 2)

3.3.1 Čtyři kvadranty

Rovina je rozdělena na čtyři části zvané kvadranty:

Kód

import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8))

# Barevné vyplnění kvadrantů
ax.fill([0, 5, 5, 0], [0, 0, 5, 5], alpha=0.2, color='green')
ax.fill([-5, 0, 0, -5], [0, 0, 5, 5], alpha=0.2, color='blue')
ax.fill([-5, 0, 0, -5], [-5, -5, 0, 0], alpha=0.2, color='red')
ax.fill([0, 5, 5, 0], [-5, -5, 0, 0], alpha=0.2, color='orange')

# Osy
ax.axhline(y=0, color='k', linewidth=2)
ax.axvline(x=0, color='k', linewidth=2)

# Popisky kvadrantů
ax.text(2.5, 2.5, 'I. kvadrant\nx > 0, y > 0', ha='center', va='center', fontsize=12)
ax.text(-2.5, 2.5, 'II. kvadrant\nx < 0, y > 0', ha='center', va='center', fontsize=12)
ax.text(-2.5, -2.5, 'III. kvadrant\nx < 0, y < 0', ha='center', va='center', fontsize=12)
ax.text(2.5, -2.5, 'IV. kvadrant\nx > 0, y < 0', ha='center', va='center', fontsize=12)

ax.set_xlim(-5, 5)
ax.set_ylim(-5, 5)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_title('Čtyři kvadranty souřadnicového systému')
plt.show()

Kvadrant	x	y
I.	+	+
II.	-	+
III.	-	-
IV.	+	-

3.4 Vzdálenost mezi dvěma body

Jak zjistíme vzdálenost mezi body A[x₁, y₁] a B[x₂, y₂]?

Použijeme Pythagorovu větu! Vzdálenost je přepona pravoúhlého trojúhelníku:

\[d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}\]

Kód

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))

# Body
A = (1, 2)
B = (4, 6)

# Vzdálenost
dx = B[0] - A[0]
dy = B[1] - A[1]
d = np.sqrt(dx**2 + dy**2)

# Trojúhelník
ax.plot([A[0], B[0]], [A[1], A[1]], 'g--', linewidth=2, label=f'Δx = {dx}')
ax.plot([B[0], B[0]], [A[1], B[1]], 'b--', linewidth=2, label=f'Δy = {dy}')
ax.plot([A[0], B[0]], [A[1], B[1]], 'r-', linewidth=3, label=f'd = {d:.2f}')

# Body
ax.plot(*A, 'ko', markersize=12)
ax.plot(*B, 'ko', markersize=12)
ax.annotate('A[1, 2]', xy=A, xytext=(A[0]-0.8, A[1]+0.3), fontsize=12)
ax.annotate('B[4, 6]', xy=B, xytext=(B[0]+0.2, B[1]+0.3), fontsize=12)

# Pravý úhel
ax.plot([B[0]-0.2, B[0]-0.2, B[0]], [A[1], A[1]+0.2, A[1]+0.2], 'k-', linewidth=1)

ax.set_xlim(0, 6)
ax.set_ylim(0, 8)
ax.set_aspect('equal')
ax.grid(True, alpha=0.3)
ax.legend()
ax.set_xlabel('x')
ax.set_ylabel('y')
ax.set_title('Vzdálenost mezi body A a B')
plt.show()

Příklad

Vypočítejme vzdálenost mezi body A[1, 2] a B[4, 6]:

\[d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

3.5 Python: Práce se souřadnicemi

3.5.1 Kreslení bodů

import matplotlib.pyplot as plt

# Definujeme body jako dvojice [x, y]
bod_A = [2, 3]
bod_B = [-1, 4]
bod_C = [3, -2]

# Nakreslíme je
plt.figure(figsize=(8, 6))

plt.plot(bod_A[0], bod_A[1], 'ro', markersize=12, label='A[2, 3]')
plt.plot(bod_B[0], bod_B[1], 'bs', markersize=12, label='B[-1, 4]')
plt.plot(bod_C[0], bod_C[1], 'g^', markersize=12, label='C[3, -2]')

plt.axhline(y=0, color='k', linewidth=0.5)
plt.axvline(x=0, color='k', linewidth=0.5)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.legend()
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Body v rovině')
plt.axis('equal')
plt.show()

3.5.2 Výpočet vzdálenosti

import numpy as np

def vzdalenost(bod1, bod2):
    """Vypočítá vzdálenost mezi dvěma body."""
    x1, y1 = bod1
    x2, y2 = bod2
    return np.sqrt((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2)

# Příklad
A = [1, 2]
B = [4, 6]

d = vzdalenost(A, B)
print(f"Vzdálenost mezi A a B: {d}")

Vzdálenost mezi A a B: 5.0

3.5.3 Střed úsečky

Střed úsečky AB je bod, jehož souřadnice jsou průměry souřadnic krajních bodů:

\[S = \left[\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right]\]

def stred_usecky(bod1, bod2):
    """Vypočítá střed úsečky."""
    x1, y1 = bod1
    x2, y2 = bod2
    return [(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2]

A = [2, 4]
B = [6, 8]

S = stred_usecky(A, B)
print(f"Střed úsečky AB: {S}")

Střed úsečky AB: [4.0, 6.0]

# Vizualizace
import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(8, 6))

# Body a úsečka
A = [2, 4]
B = [6, 8]
S = stred_usecky(A, B)

plt.plot([A[0], B[0]], [A[1], B[1]], 'b-', linewidth=2)
plt.plot(A[0], A[1], 'ro', markersize=12)
plt.plot(B[0], B[1], 'ro', markersize=12)
plt.plot(S[0], S[1], 'go', markersize=12)

plt.annotate('A[2, 4]', xy=A, xytext=(A[0]-0.5, A[1]+0.3), fontsize=11)
plt.annotate('B[6, 8]', xy=B, xytext=(B[0]+0.2, B[1]+0.3), fontsize=11)
plt.annotate(f'S[{S[0]}, {S[1]}]', xy=S, xytext=(S[0]+0.2, S[1]-0.5), fontsize=11, color='green')

plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Střed úsečky')
plt.axis('equal')
plt.show()

3.6 Aplikace v praxi

3.6.1 Souřadnice pixelů

Na obrazovce počítače má každý pixel své souřadnice. Pozor – počítačová grafika má často osu y obrácenou (roste směrem dolů)!

# Simulace pixelové mřížky
import matplotlib.pyplot as plt

fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6))

# Mřížka pixelů
for i in range(10):
    ax.axhline(y=i, color='gray', linewidth=0.5)
    ax.axvline(x=i, color='gray', linewidth=0.5)

# Ukázkové pixely
pixely = [(2, 1), (5, 3), (7, 7)]
for px, py in pixely:
    ax.add_patch(plt.Rectangle((px, py), 1, 1, color='blue', alpha=0.5))
    ax.text(px+0.5, py+0.5, f'[{px},{py}]', ha='center', va='center', fontsize=9)

ax.set_xlim(0, 10)
ax.set_ylim(0, 10)
ax.invert_yaxis()  # Obrátíme osu y
ax.set_xlabel('x (sloupec)')
ax.set_ylabel('y (řádek)')
ax.set_title('Souřadnice pixelů (y roste dolů)')
ax.set_aspect('equal')
plt.show()

3.6.2 GPS souřadnice

GPS pozice se udává jako zeměpisná šířka (latitude) a délka (longitude):

# Praha - Staroměstské náměstí
praha = {'lat': 50.0875, 'lon': 14.4214}

# Brno - náměstí Svobody
brno = {'lat': 49.1951, 'lon': 16.6068}

print(f"Praha: {praha['lat']}° N, {praha['lon']}° E")
print(f"Brno: {brno['lat']}° N, {brno['lon']}° E")

Praha: 50.0875° N, 14.4214° E
Brno: 49.1951° N, 16.6068° E

3.7 Řešené příklady

3.7.1 Příklad 1: Určení kvadrantu

V jakém kvadrantu leží bod P[-3, 5]?

Řešení:

x = -3 (záporné, tedy vlevo od osy y)
y = 5 (kladné, tedy nad osou x)
Bod leží ve II. kvadrantu

def urcit_kvadrant(x, y):
    if x > 0 and y > 0:
        return "I. kvadrant"
    elif x < 0 and y > 0:
        return "II. kvadrant"
    elif x < 0 and y < 0:
        return "III. kvadrant"
    elif x > 0 and y < 0:
        return "IV. kvadrant"
    else:
        return "Na ose"

print(urcit_kvadrant(-3, 5))

II. kvadrant

3.7.2 Příklad 2: Vzdálenost od počátku

Jaká je vzdálenost bodu A[3, 4] od počátku [0, 0]?

Řešení:

\[d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\]

A = [3, 4]
pocatek = [0, 0]
d = vzdalenost(A, pocatek)
print(f"Vzdálenost od počátku: {d}")

Vzdálenost od počátku: 5.0

3.7.3 Příklad 3: Trojúhelník

Jsou dány vrcholy trojúhelníku: A[0, 0], B[4, 0], C[2, 3]. Vypočítejte obvod trojúhelníku.

A = [0, 0]
B = [4, 0]
C = [2, 3]

# Délky stran
AB = vzdalenost(A, B)
BC = vzdalenost(B, C)
CA = vzdalenost(C, A)

print(f"Strana AB: {AB:.2f}")
print(f"Strana BC: {BC:.2f}")
print(f"Strana CA: {CA:.2f}")
print(f"Obvod: {AB + BC + CA:.2f}")

Strana AB: 4.00
Strana BC: 3.61
Strana CA: 3.61
Obvod: 11.21

import matplotlib.pyplot as plt

plt.figure(figsize=(8, 6))

# Vrcholy
trojuhelnik_x = [A[0], B[0], C[0], A[0]]  # Zavřeme trojúhelník
trojuhelnik_y = [A[1], B[1], C[1], A[1]]

plt.fill(trojuhelnik_x, trojuhelnik_y, alpha=0.3, color='blue')
plt.plot(trojuhelnik_x, trojuhelnik_y, 'b-', linewidth=2)

# Popisky vrcholů
for bod, nazev in [(A, 'A[0,0]'), (B, 'B[4,0]'), (C, 'C[2,3]')]:
    plt.plot(bod[0], bod[1], 'ro', markersize=10)
    plt.annotate(nazev, xy=bod, xytext=(bod[0]+0.2, bod[1]+0.2), fontsize=11)

plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Trojúhelník ABC')
plt.axis('equal')
plt.show()

3.7.4 Příklad 4: Čtverec

Nakreslete čtverec o straně 3 s levým dolním rohem v bodě [1, 1].

# Vrcholy čtverce
import matplotlib.pyplot as plt

A = [1, 1]
B = [4, 1]  # A + [3, 0]
C = [4, 4]  # A + [3, 3]
D = [1, 4]  # A + [0, 3]

plt.figure(figsize=(8, 6))

# Čtverec
ctverec_x = [A[0], B[0], C[0], D[0], A[0]]
ctverec_y = [A[1], B[1], C[1], D[1], A[1]]
plt.fill(ctverec_x, ctverec_y, alpha=0.3, color='green')
plt.plot(ctverec_x, ctverec_y, 'g-', linewidth=2)

# Vrcholy
for bod, nazev in [(A, 'A'), (B, 'B'), (C, 'C'), (D, 'D')]:
    plt.plot(bod[0], bod[1], 'ko', markersize=8)
    plt.annotate(nazev, xy=bod, xytext=(bod[0]-0.3, bod[1]-0.3), fontsize=11)

plt.axhline(y=0, color='k', linewidth=0.5)
plt.axvline(x=0, color='k', linewidth=0.5)
plt.grid(True, alpha=0.3)
plt.xlabel('x')
plt.ylabel('y')
plt.title('Čtverec o straně 3')
plt.axis('equal')
plt.xlim(-1, 6)
plt.ylim(-1, 6)
plt.show()

3.8 Cvičení

Cvičení 1: Nakresli body

Nakreslete body A[2, 3], B[-4, 1], C[0, -2], D[3, -4] do souřadnicového systému a určete, ve kterém kvadrantu leží.

Řešení

A[2, 3]: I. kvadrant (x > 0, y > 0)
B[-4, 1]: II. kvadrant (x < 0, y > 0)
C[0, -2]: na ose y (x = 0)
D[3, -4]: IV. kvadrant (x > 0, y < 0)

Cvičení 2: Vzdálenost

Vypočítejte vzdálenost mezi body P[1, 1] a Q[4, 5].

Výsledek: 5

Řešení

$d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$

Cvičení 3: Střed úsečky

Najděte střed úsečky s krajními body A[-2, 4] a B[6, 0].

Výsledek: S[2, 2]

Řešení

$S_x = \frac{-2 + 6}{2} = 2$

$S_y = \frac{4 + 0}{2} = 2$

Střed je S[2, 2]

Cvičení 4: Obdélník

Jsou dány dva protilehlé vrcholy obdélníku: A[1, 2] a C[5, 6]. Najděte zbývající dva vrcholy B a D (předpokládejte, že strany jsou rovnoběžné s osami).

Řešení

B[5, 2] a D[1, 6]

Cvičení 5: Rovnostranný trojúhelník

Napište Python funkci, která pro danou stranu a a bod A (levý dolní vrchol) vypočítá souřadnice všech tří vrcholů rovnostranného trojúhelníku.

Nápověda

Výška rovnostranného trojúhelníku je $h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}$

Řešení

import numpy as np

def rovnostranny_trojuhelnik(A, a):
    """Vrátí vrcholy rovnostranného trojúhelníku."""
    B = [A[0] + a, A[1]]
    vyska = a * np.sqrt(3) / 2
    C = [A[0] + a/2, A[1] + vyska]
    return A, B, C

A = [0, 0]
a = 4
vrcholy = rovnostranny_trojuhelnik(A, a)
print(vrcholy)

Cvičení 6: Vzdálenost od přímky

Bod P[3, 4] leží na kružnici se středem v počátku. Jaký je poloměr této kružnice?

Výsledek: r = 5

Řešení

Poloměr je vzdálenost od středu: $r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$

3.9 Shrnutí

Co si zapamatovat

Kartézská soustava souřadnic má dvě osy: x (vodorovná) a y (svislá)
Bod zapisujeme jako [x, y]
Rovina je rozdělena do čtyř kvadrantů
Vzdálenost mezi body: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$
Střed úsečky: $S = \left[\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right]$
V Pythonu body reprezentujeme jako seznamy [x, y] nebo n-tice (x, y)

V další kapitole se naučíme, co je funkce – základní koncept, který spojuje vstupy s výstupy a je klíčový pro pochopení neuronových sítí.

# Souřadnicový systém ::: {.callout-tip title="Co se naučíte"} V této kapitole se naučíte: - Co je kartézská soustava souřadnic - Jak zapisovat a zobrazovat body v rovině - Jak vypočítat vzdálenost mezi dvěma body - Jak pracovat se souřadnicemi v Pythonu ::: ## Proč potřebujeme souřadnice? Představte si, že hrajete hru, kde ovládáte postavu na obrazovce. Jak počítač ví, kde postava je? Používá **souřadnice** -- dvojici čísel, která přesně určuje pozici. Souřadnice používáme všude: - **GPS navigace** -- určuje pozici jako zeměpisnou šířku a délku - **Počítačová grafika** -- každý pixel má své souřadnice - **Mapy v hrách** -- pozice postav, nepřátel, pokladů - **Strojové učení** -- data jsou body v prostoru souřadnic ::: {.callout-note title="Historická poznámka"} Souřadnicový systém vynalezl francouzský filosof a matematik **René Descartes** (1596-1650). Proto se mu říká **kartézská** soustava souřadnic (z latinské podoby jeho jména: Cartesius). ::: ## Kartézská soustava souřadnic Kartézská soustava souřadnic se skládá ze dvou os: - **Osa x** (vodorovná) -- běží zleva doprava - **Osa y** (svislá) -- běží zdola nahoru Osy se protínají v **počátku** (anglicky *origin*), který má souřadnice [0, 0]. ```{python} #| fig-cap: "Kartézská soustava souřadnic" #| code-fold: true import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8)) # Osy ax.axhline(y=0, color='k', linewidth=1.5) ax.axvline(x=0, color='k', linewidth=1.5) # Mřížka ax.grid(True, alpha=0.3) ax.set_xlim(-5, 5) ax.set_ylim(-5, 5) # Popisky os ax.set_xlabel('osa x', fontsize=12) ax.set_ylabel('osa y', fontsize=12) # Šipky na koncích os ax.annotate('', xy=(5, 0), xytext=(4.5, 0), arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='black', lw=1.5)) ax.annotate('', xy=(0, 5), xytext=(0, 4.5), arrowprops=dict(arrowstyle='->', color='black', lw=1.5)) # Počátek ax.plot(0, 0, 'ko', markersize=8) ax.annotate('počátek\n[0, 0]', xy=(0, 0), xytext=(0.5, -1), fontsize=10, ha='left') # Ukázkové body body = [(3, 2), (-2, 3), (-3, -2), (2, -3)] barvy = ['red', 'blue', 'green', 'orange'] nazvy = ['A[3, 2]', 'B[-2, 3]', 'C[-3, -2]', 'D[2, -3]'] for (x, y), barva, nazev in zip(body, barvy, nazvy): ax.plot(x, y, 'o', color=barva, markersize=10) ax.annotate(nazev, xy=(x, y), xytext=(x+0.3, y+0.3), fontsize=10, color=barva) ax.set_aspect('equal') ax.set_title('Kartézská soustava souřadnic', fontsize=14) plt.tight_layout() plt.show() ``` ## Body v rovině Každý bod v rovině má dvě souřadnice: - **x-ová souřadnice** -- říká, jak daleko je bod od osy y (vpravo = kladné, vlevo = záporné) - **y-ová souřadnice** -- říká, jak daleko je bod od osy x (nahoru = kladné, dolů = záporné) Bod zapisujeme jako **[x, y]** nebo **(x, y)**. ::: {.callout-note title="Příklad"} Bod **A[3, 2]** znamená: - Jdi 3 jednotky doprava (x = 3) - Jdi 2 jednotky nahoru (y = 2) ::: ### Čtyři kvadranty Rovina je rozdělena na čtyři části zvané **kvadranty**: ```{python} #| fig-cap: "Čtyři kvadranty" #| code-fold: true import matplotlib.pyplot as plt fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 8)) # Barevné vyplnění kvadrantů ax.fill([0, 5, 5, 0], [0, 0, 5, 5], alpha=0.2, color='green') ax.fill([-5, 0, 0, -5], [0, 0, 5, 5], alpha=0.2, color='blue') ax.fill([-5, 0, 0, -5], [-5, -5, 0, 0], alpha=0.2, color='red') ax.fill([0, 5, 5, 0], [-5, -5, 0, 0], alpha=0.2, color='orange') # Osy ax.axhline(y=0, color='k', linewidth=2) ax.axvline(x=0, color='k', linewidth=2) # Popisky kvadrantů ax.text(2.5, 2.5, 'I. kvadrant\nx > 0, y > 0', ha='center', va='center', fontsize=12) ax.text(-2.5, 2.5, 'II. kvadrant\nx < 0, y > 0', ha='center', va='center', fontsize=12) ax.text(-2.5, -2.5, 'III. kvadrant\nx < 0, y < 0', ha='center', va='center', fontsize=12) ax.text(2.5, -2.5, 'IV. kvadrant\nx > 0, y < 0', ha='center', va='center', fontsize=12) ax.set_xlim(-5, 5) ax.set_ylim(-5, 5) ax.set_aspect('equal') ax.grid(True, alpha=0.3) ax.set_xlabel('x') ax.set_ylabel('y') ax.set_title('Čtyři kvadranty souřadnicového systému') plt.show() ``` | Kvadrant | x | y | |----------|---|---| | I. | + | + | | II. | - | + | | III. | - | - | | IV. | + | - | ## Vzdálenost mezi dvěma body Jak zjistíme vzdálenost mezi body A[x₁, y₁] a B[x₂, y₂]? Použijeme **Pythagorovu větu**! Vzdálenost je přepona pravoúhlého trojúhelníku: $$d = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$$ ```{python} #| fig-cap: "Vzdálenost mezi dvěma body" #| code-fold: true import numpy as np import matplotlib.pyplot as plt fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6)) # Body A = (1, 2) B = (4, 6) # Vzdálenost dx = B[0] - A[0] dy = B[1] - A[1] d = np.sqrt(dx**2 + dy**2) # Trojúhelník ax.plot([A[0], B[0]], [A[1], A[1]], 'g--', linewidth=2, label=f'Δx = {dx}') ax.plot([B[0], B[0]], [A[1], B[1]], 'b--', linewidth=2, label=f'Δy = {dy}') ax.plot([A[0], B[0]], [A[1], B[1]], 'r-', linewidth=3, label=f'd = {d:.2f}') # Body ax.plot(*A, 'ko', markersize=12) ax.plot(*B, 'ko', markersize=12) ax.annotate('A[1, 2]', xy=A, xytext=(A[0]-0.8, A[1]+0.3), fontsize=12) ax.annotate('B[4, 6]', xy=B, xytext=(B[0]+0.2, B[1]+0.3), fontsize=12) # Pravý úhel ax.plot([B[0]-0.2, B[0]-0.2, B[0]], [A[1], A[1]+0.2, A[1]+0.2], 'k-', linewidth=1) ax.set_xlim(0, 6) ax.set_ylim(0, 8) ax.set_aspect('equal') ax.grid(True, alpha=0.3) ax.legend() ax.set_xlabel('x') ax.set_ylabel('y') ax.set_title('Vzdálenost mezi body A a B') plt.show() ``` ::: {.callout-note title="Příklad"} Vypočítejme vzdálenost mezi body A[1, 2] a B[4, 6]: $$d = \sqrt{(4-1)^2 + (6-2)^2} = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ ::: ## Python: Práce se souřadnicemi ### Kreslení bodů ```{python} #| fig-cap: "Body v Pythonu" import matplotlib.pyplot as plt # Definujeme body jako dvojice [x, y] bod_A = [2, 3] bod_B = [-1, 4] bod_C = [3, -2] # Nakreslíme je plt.figure(figsize=(8, 6)) plt.plot(bod_A[0], bod_A[1], 'ro', markersize=12, label='A[2, 3]') plt.plot(bod_B[0], bod_B[1], 'bs', markersize=12, label='B[-1, 4]') plt.plot(bod_C[0], bod_C[1], 'g^', markersize=12, label='C[3, -2]') plt.axhline(y=0, color='k', linewidth=0.5) plt.axvline(x=0, color='k', linewidth=0.5) plt.grid(True, alpha=0.3) plt.legend() plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('Body v rovině') plt.axis('equal') plt.show() ``` ### Výpočet vzdálenosti ```{python} import numpy as np def vzdalenost(bod1, bod2): """Vypočítá vzdálenost mezi dvěma body.""" x1, y1 = bod1 x2, y2 = bod2 return np.sqrt((x2 - x1)**2 + (y2 - y1)**2) # Příklad A = [1, 2] B = [4, 6] d = vzdalenost(A, B) print(f"Vzdálenost mezi A a B: {d}") ``` ### Střed úsečky Střed úsečky AB je bod, jehož souřadnice jsou průměry souřadnic krajních bodů: $$S = \left[\frac{x_1 + x_2}{2}, \frac{y_1 + y_2}{2}\right]$$ ```{python} def stred_usecky(bod1, bod2): """Vypočítá střed úsečky.""" x1, y1 = bod1 x2, y2 = bod2 return [(x1 + x2) / 2, (y1 + y2) / 2] A = [2, 4] B = [6, 8] S = stred_usecky(A, B) print(f"Střed úsečky AB: {S}") ``` ```{python} #| fig-cap: "Střed úsečky" # Vizualizace import matplotlib.pyplot as plt plt.figure(figsize=(8, 6)) # Body a úsečka A = [2, 4] B = [6, 8] S = stred_usecky(A, B) plt.plot([A[0], B[0]], [A[1], B[1]], 'b-', linewidth=2) plt.plot(A[0], A[1], 'ro', markersize=12) plt.plot(B[0], B[1], 'ro', markersize=12) plt.plot(S[0], S[1], 'go', markersize=12) plt.annotate('A[2, 4]', xy=A, xytext=(A[0]-0.5, A[1]+0.3), fontsize=11) plt.annotate('B[6, 8]', xy=B, xytext=(B[0]+0.2, B[1]+0.3), fontsize=11) plt.annotate(f'S[{S[0]}, {S[1]}]', xy=S, xytext=(S[0]+0.2, S[1]-0.5), fontsize=11, color='green') plt.grid(True, alpha=0.3) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('Střed úsečky') plt.axis('equal') plt.show() ``` --- ## Aplikace v praxi ### Souřadnice pixelů Na obrazovce počítače má každý pixel své souřadnice. Pozor -- počítačová grafika má často **osu y obrácenou** (roste směrem dolů)! ```{python} #| fig-cap: "Souřadnice pixelů (obrácená osa y)" # Simulace pixelové mřížky import matplotlib.pyplot as plt fig, ax = plt.subplots(figsize=(8, 6)) # Mřížka pixelů for i in range(10): ax.axhline(y=i, color='gray', linewidth=0.5) ax.axvline(x=i, color='gray', linewidth=0.5) # Ukázkové pixely pixely = [(2, 1), (5, 3), (7, 7)] for px, py in pixely: ax.add_patch(plt.Rectangle((px, py), 1, 1, color='blue', alpha=0.5)) ax.text(px+0.5, py+0.5, f'[{px},{py}]', ha='center', va='center', fontsize=9) ax.set_xlim(0, 10) ax.set_ylim(0, 10) ax.invert_yaxis() # Obrátíme osu y ax.set_xlabel('x (sloupec)') ax.set_ylabel('y (řádek)') ax.set_title('Souřadnice pixelů (y roste dolů)') ax.set_aspect('equal') plt.show() ``` ### GPS souřadnice GPS pozice se udává jako zeměpisná šířka (latitude) a délka (longitude): ```{python} # Praha - Staroměstské náměstí praha = {'lat': 50.0875, 'lon': 14.4214} # Brno - náměstí Svobody brno = {'lat': 49.1951, 'lon': 16.6068} print(f"Praha: {praha['lat']}° N, {praha['lon']}° E") print(f"Brno: {brno['lat']}° N, {brno['lon']}° E") ``` --- ## Řešené příklady ### Příklad 1: Určení kvadrantu V jakém kvadrantu leží bod P[-3, 5]? **Řešení:** - x = -3 (záporné, tedy vlevo od osy y) - y = 5 (kladné, tedy nad osou x) - Bod leží ve **II. kvadrantu** ```{python} def urcit_kvadrant(x, y): if x > 0 and y > 0: return "I. kvadrant" elif x < 0 and y > 0: return "II. kvadrant" elif x < 0 and y < 0: return "III. kvadrant" elif x > 0 and y < 0: return "IV. kvadrant" else: return "Na ose" print(urcit_kvadrant(-3, 5)) ``` ### Příklad 2: Vzdálenost od počátku Jaká je vzdálenost bodu A[3, 4] od počátku [0, 0]? **Řešení:** $$d = \sqrt{(3-0)^2 + (4-0)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$$ ```{python} A = [3, 4] pocatek = [0, 0] d = vzdalenost(A, pocatek) print(f"Vzdálenost od počátku: {d}") ``` ### Příklad 3: Trojúhelník Jsou dány vrcholy trojúhelníku: A[0, 0], B[4, 0], C[2, 3]. Vypočítejte obvod trojúhelníku. ```{python} A = [0, 0] B = [4, 0] C = [2, 3] # Délky stran AB = vzdalenost(A, B) BC = vzdalenost(B, C) CA = vzdalenost(C, A) print(f"Strana AB: {AB:.2f}") print(f"Strana BC: {BC:.2f}") print(f"Strana CA: {CA:.2f}") print(f"Obvod: {AB + BC + CA:.2f}") ``` ```{python} #| fig-cap: "Trojúhelník ABC" import matplotlib.pyplot as plt plt.figure(figsize=(8, 6)) # Vrcholy trojuhelnik_x = [A[0], B[0], C[0], A[0]] # Zavřeme trojúhelník trojuhelnik_y = [A[1], B[1], C[1], A[1]] plt.fill(trojuhelnik_x, trojuhelnik_y, alpha=0.3, color='blue') plt.plot(trojuhelnik_x, trojuhelnik_y, 'b-', linewidth=2) # Popisky vrcholů for bod, nazev in [(A, 'A[0,0]'), (B, 'B[4,0]'), (C, 'C[2,3]')]: plt.plot(bod[0], bod[1], 'ro', markersize=10) plt.annotate(nazev, xy=bod, xytext=(bod[0]+0.2, bod[1]+0.2), fontsize=11) plt.grid(True, alpha=0.3) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('Trojúhelník ABC') plt.axis('equal') plt.show() ``` ### Příklad 4: Čtverec Nakreslete čtverec o straně 3 s levým dolním rohem v bodě [1, 1]. ```{python} #| fig-cap: "Čtverec" # Vrcholy čtverce import matplotlib.pyplot as plt A = [1, 1] B = [4, 1] # A + [3, 0] C = [4, 4] # A + [3, 3] D = [1, 4] # A + [0, 3] plt.figure(figsize=(8, 6)) # Čtverec ctverec_x = [A[0], B[0], C[0], D[0], A[0]] ctverec_y = [A[1], B[1], C[1], D[1], A[1]] plt.fill(ctverec_x, ctverec_y, alpha=0.3, color='green') plt.plot(ctverec_x, ctverec_y, 'g-', linewidth=2) # Vrcholy for bod, nazev in [(A, 'A'), (B, 'B'), (C, 'C'), (D, 'D')]: plt.plot(bod[0], bod[1], 'ko', markersize=8) plt.annotate(nazev, xy=bod, xytext=(bod[0]-0.3, bod[1]-0.3), fontsize=11) plt.axhline(y=0, color='k', linewidth=0.5) plt.axvline(x=0, color='k', linewidth=0.5) plt.grid(True, alpha=0.3) plt.xlabel('x') plt.ylabel('y') plt.title('Čtverec o straně 3') plt.axis('equal') plt.xlim(-1, 6) plt.ylim(-1, 6) plt.show() ``` --- ## Cvičení ::: {.callout-warning title="Cvičení 1: Nakresli body"} Nakreslete body A[2, 3], B[-4, 1], C[0, -2], D[3, -4] do souřadnicového systému a určete, ve kterém kvadrantu leží. <details> <summary>Řešení</summary> - A[2, 3]: I. kvadrant (x > 0, y > 0) - B[-4, 1]: II. kvadrant (x < 0, y > 0) - C[0, -2]: na ose y (x = 0) - D[3, -4]: IV. kvadrant (x > 0, y < 0) </details> ::: ::: {.callout-warning title="Cvičení 2: Vzdálenost"} Vypočítejte vzdálenost mezi body P[1, 1] a Q[4, 5]. **Výsledek:** 5 <details> <summary>Řešení</summary> $d = \sqrt{(4-1)^2 + (5-1)^2} = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5$ </details> ::: ::: {.callout-warning title="Cvičení 3: Střed úsečky"} Najděte střed úsečky s krajními body A[-2, 4] a B[6, 0]. **Výsledek:** S[2, 2] <details> <summary>Řešení</summary> $S_x = \frac{-2 + 6}{2} = 2$ $S_y = \frac{4 + 0}{2} = 2$ Střed je S[2, 2] </details> ::: ::: {.callout-warning title="Cvičení 4: Obdélník"} Jsou dány dva protilehlé vrcholy obdélníku: A[1, 2] a C[5, 6]. Najděte zbývající dva vrcholy B a D (předpokládejte, že strany jsou rovnoběžné s osami). <details> <summary>Řešení</summary> B[5, 2] a D[1, 6] </details> ::: ::: {.callout-warning title="Cvičení 5: Rovnostranný trojúhelník"} Napište Python funkci, která pro danou stranu `a` a bod `A` (levý dolní vrchol) vypočítá souřadnice všech tří vrcholů rovnostranného trojúhelníku. <details> <summary>Nápověda</summary> Výška rovnostranného trojúhelníku je $h = \frac{a \cdot \sqrt{3}}{2}$ </details> <details> <summary>Řešení</summary> ```python import numpy as np def rovnostranny_trojuhelnik(A, a): """Vrátí vrcholy rovnostranného trojúhelníku.""" B = [A[0] + a, A[1]] vyska = a * np.sqrt(3) / 2 C = [A[0] + a/2, A[1] + vyska] return A, B, C A = [0, 0] a = 4 vrcholy = rovnostranny_trojuhelnik(A, a) print(vrcholy) ``` </details> ::: ::: {.callout-warning title="Cvičení 6: Vzdálenost od přímky"} Bod P[3, 4] leží na kružnici se středem v počátku. Jaký je poloměr této kružnice? **Výsledek:** r = 5 <details> <summary>Řešení</summary> Poloměr je vzdálenost od středu: $r = \sqrt{3^2 + 4^2} = 5$ </details> ::: --- ## Shrnutí ::: {.callout-note title="Co si zapamatovat"} - **Kartézská soustava souřadnic** má dvě osy: x (vodorovná) a y (svislá) - Bod zapisujeme jako **[x, y]** - Rovina je rozdělena do **čtyř kvadrantů** - **Vzdálenost** mezi body: $d = \sqrt{(x_2-x_1)^2 + (y_2-y_1)^2}$ - **Střed úsečky**: $S = \left[\frac{x_1+x_2}{2}, \frac{y_1+y_2}{2}\right]$ - V Pythonu body reprezentujeme jako seznamy `[x, y]` nebo n-tice `(x, y)` ::: V další kapitole se naučíme, co je funkce -- základní koncept, který spojuje vstupy s výstupy a je klíčový pro pochopení neuronových sítí.